Ο Σταύρος Πήλιος γεννήθηκε στις 10 Δεκεμβρίου 2000, στη Ρόδο. Στην ηλικία των 13 ετών εντάχθηκε στην Ακαδημία «Ελπίδες Ιωαννίνων» και τρία χρόνια αργότερα έγινε μέλος των τμημάτων υποδομής του ΠΑΣ Γιάννινα, με τον οποίο υπέγραψε και το πρώτο του επαγγελματικό συμβόλαιο τον Ιανουάριο του 2019.

Τον Οκτώβριο του ίδιου έτους έκανε το ντεμπούτου του, στον αγώνα Κυπέλλου απέναντι στην Ένωση Ασπροπύργου και δύο μήνες αργότερα έπαιξε για πρώτη φορά στη Super League 2, στο παιχνίδι με αντίπαλο την ΑΕ Καραϊσκάκης. Το ντεμπούτο του στη Super League το πραγματοποίησε στις 31 Ιανουαρίου 2021, στο εντός έδρας παιχνίδι με τον Ατρόμητο.

Τον Αύγουστο του 2021 παραχωρήθηκε ως δανεικός στον Ηρακλή, με τον οποίο πραγματοποίησε 30 συμμετοχές στη Super League 2 (2 γκολ και 1 ασίστ) της σεζόν 2021-22, αφήνοντας εξαιρετικές εντυπώσεις. Την αγωνιστική περίοδο 2022-23 επέστρεψε στον ΠΑΣ Γιάννινα και κατάφερε να κερδίσει φανέλα βασικού. Συνολικά κατέγραψε 24 συμμετοχές (όλες 90λεπτες), έχοντας 2 ασίστ.

Στις 23 Ιουνίου 2023 εντάχθηκε στην ΑΕΚ, υπογράφοντας συμβόλαιο έως το καλοκαίρι του 2027.