Ο Νίκλας Ελίασον γεννήθηκε στις 7 Δεκεμβρίου 1995, στην πόλη Βάρμπεργκ της Σουηδίας. Άρχισε την ποδοσφαιρική του καριέρα στα τμήματα υποδομής της Φάλκενμπεργκ. Προωθήθηκε στην πρώτη ομάδα τον Ιανουάριο του 2013 και μέσα στον επόμενο χρόνο πραγματοποίησε 33 συμμετοχές, με ένα γκολ και 13 ασίστ.

Οι εμφανίσεις του προσέλκυσαν το ενδιαφέρον της ΑΙΚ, η οποία προχώρησε στην απόκτησή του τον Ιανουάριο του 2014. Με την ομάδα της Στοκχόλμης αγωνίστηκε σε 43 παιχνίδια (2 γκολ, 7 ασίστ). Τον Ιούλιο του 2016 παραχωρήθηκε ως δανεικός στην Νόρκεπινγκ, η οποία έξι μήνες αργότερα προχώρησε στην αγορά των δικαιωμάτων του. Με τη φανέλα της πραγματοποίησε συνολικά σε 41 ματς (8 γκολ, 18 ασίστ).

Τον Αύγουστο του 2017 άφησε για πρώτη φορά τη Σουηδία, παίρνοντας μεταγραφή στην Μπρίστολ Σίτι, με την οποία τα επόμενα τρία χρόνια αγωνίστηκε σε 95 παιχνίδια (7 γκολ, 21 ασίστ). Τον Οκτώβριο του 2020 η Νιμ κατέβαλε περίπου 3 εκατ. ευρώ για να τον αποκτήσει. Με τη γαλλική ομάδα μέτρησε 72 συμμετοχές, σκοράροντας 11 φορές και βγάζοντας 10 ασίστ.

Τον Αύγουστο του 2022 η ΑΕΚ προχώρησε στην αγορά του από τη Νιμ, υπογράφοντας μαζί του συμβόλαιο πενταετούς διαρκείας.