Ο Κώστας Γαλανόπουλος προέρχεται από τα τμήματα υποδομής της ΑΕΚ. Αγωνίστηκε για πρώτη φορά με την πρώτη ομάδα στις 31 Μαΐου 2016 στο παιχνίδι των Play Offs με τον Πανιώνιο και από το καλοκαίρι του 2016 αποτελεί μέλος της πρώτης ομάδας, όντας εκ των βασικών παικτών της ΑΕΚ σε Ελλάδα και Ευρώπη.

Στη σεζόν 2017-18 έφτασε στην πρώτη μεγάλη επιτυχία της καριέρας του, όντας ο νεαρότερος πρωταθλητής Ελλάδας με την ΑΕΚ μεταπολεμικά. Όταν κατακτήθηκε ο τίτλος ήταν 20 ετών και τεσσάρων μηνών, έχοντας συμμετάσχει σε 19 αγώνες στην πορεία του πρωταθλήματος και σε άλλους 15 σε Κύπελλο (6) και Ευρώπη (9).

Υπήρξε διεθνής με όλες τις «μικρές» εθνικές ομάδες, ενώ στις 15 Μαϊου 2018, σε φιλικό παιχνίδι απέναντι στη Σαουδική Αραβία, έκανε το ντεμπούτο με την Εθνική Ανδρών, της οποίας είναι ενεργό μέλος. Τον Ιούλιο του 2022 ανανέωσε το συμβόλαιό του με την ΑΕΚ έως το καλοκαίρι του 2024.