Ο Γιώργος Τζαβέλλας γεννήθηκε στις 26 Νοεμβρίου 1987. Άρχισε την καριέρα του από τα τμήματα υποδομής της Δόξας Βύρωνα και το 2004 προωθήθηκε στην πρώτη ομάδα. Ένα χρόνο αργότερα πήρε μεταγραφή στην Τερψιθέα και το 2006 υπέγραψε στην Κέρκυρα, με την οποία την επόμενη διετία πραγματοποίησε 25 συμμετοχές (3 γκολ).

Το 2008 φόρεσε τη φανέλα του Πανιωνίου, με την οποία πραγματοποίησε 47 συμμετοχές (2 γκολ, 10 ασίστ) και το καλοκαίρι του 2010 έκανε το βήμα για το εξωτερικό, με την Άιντραχτ Φρανκφούρτης να προχωρά στην απόκτησή του. Σε ενάμιση χρόνο μέτρησε 30 συμμετοχές, 2 γκολ και 4 ασίστ στη Γερμανία, πριν παραχωρηθεί τον Ιανουάριο του 2012 στη Μονακό ως δανεικός.

Το καλοκαίρι του ίδιου έτους οι Μονεγάσκοι προχώρησαν στην αγορά του και συνολικά πραγματοποίησε στο Πριγκιπάτο 41 συμμετοχές (3 γκολ, 7 ασίστ), πριν επιστρέψει στην Ελλάδα το 2013 για να αγωνιστεί στον ΠΑΟΚ. Με την ομάδα της Θεσσαλονίκης έπαιξε σε 116 αγώνες (6 γκολ, 6 ασίστ) έως τον Ιανουάριο του 2017. Επόμενος σταθμός στην καριέρα του ήταν η Αλάνιασπορ, με την οποία πραγματοποίησε 140 συμμετοχές (7 γκολ, 3 ασίστ) σε όλες τις διοργανώσεις.

Παράλληλα, ο Γιώργος Τζαβέλλας αποτελεί επί σειρά ετών βασικό στέλεχος της Εθνικής Ελλάδος, με την οποία πραγματοποίησε το ντεμπούτο του το 2010. Τον Ιούνιο του 2021 υπέγραψε διετές συμβόλαιο συνεργασίας με την ΑΕΚ.